Переход к научному знанию связывают с Древней Грецией, когда в ней впервые возникает геометрия как теоретическая система, которая нашла свое завершение в аксиоматической теории Евклида. Древние греки охотно признают, что многие эмпирические сведения по геометрии, астрономии и арифметике они заимствовали у египтян и вавилонян, но они придали им рациональный характер и все привели в целостную систему теоретического знания.

«Что бы эллины ни перенимали от варваров, — утверждал Платон, — они всегда доводили это до более высокого совершенства»1.

Такого совершенства они достигали путем рациональной обработки эмпирического материала, т.е. когда стали работать не с реальными предметами, а с их математическими моделями. Исследуя связи между идеальными объектами таких моделей, они выделяли в них основные понятия и недоказуемые утверждения, названные ими аксиомами. Все остальные знания они постарались доказать с помощью логики, т.е. выводили их логически как теоремы. Таким образом, важнейшими условиями возникновения первой теоретической науки, как геометрия, стало введение абстрактных объектов (точки, прямые и плоскости). Логические связи между этими объектами описывались с помощью системы аксиом. Такая аксиоматическая система и стала концептуальной моделью геометрии, как теоретической науки.

Следовательно, переход от преднаучной к научной стадии развития в античной геометрии был связан с отказом от эмпирического изучения предметов, обладающих определенной геометрической конфигурацией, и обращением к теоретическому исследованию их геометрической формы, независимо от конкретного вещественного содержания. Для этого необходимо было использовать различные типы абстракций, чтобы определить основные понятия геометрии. С другой стороны, необходимо было располагать достаточно развитой системой логики, чтобы выделить, во-первых, исходные утверждения геометрии среди остальных и сформулировать их в виде аксиом; во-вторых, вывести остальные утверждения теории из этих аксиом, т.е. получить их как логические следствия из аксиом или доказать как теоремы. Так впервые появляется понятие теоретического доказательства, заменившее непосредственное обращение к реальному предмету или к чертежу, сопровождавшееся указанием: «смотри».

Законченную аксиоматическую форму геометрические знания получили только в III веке до н.э. в знаменитых «Началах» Евклида, ставших впоследствии образцом строгости математического изложения. Но этому предшествовал с VI по III в. до н.э. период накопления и систематизации различных доказательств, которые Евклид систематизировал, переформулировал и добавил к ним собственные доказательства в своих «Началах». Чтобы получить более ясное представление о систематизации геометрических знаний, рассмотрим кратко, как происходил этот процесс в истории древнегреческой математики.

Начало этого процесса связывают с именем родоначальника милетской школы Фалеса, считавшегося первым из семи древних мудрецов. По свидетельству первого комментатора «Начал» Евклида, неоплатоника Прокла, «Фалес путешествовал в Египет и привез геометрию в Элладу; многое он открыл сам и для многого другого он дал основу жившим после него. Иногда он рассматривал вопрос общее, иногда больше опираясь на наглядность»1. Фалесу приписывают, в частности, доказательство равенства углов при основании равнобедренного треугольника, а также равенства двух треугольников, имеющих равными одну сторону и два прилежащих к ним угла. Эта теорема применяется при определения расстояния до корабля на море, которым пользовался Фалес. Хотя эти элементарные геометрические утверждения, по-видимому, эмпирически были из­вестны египтянам, а тем более вавилонянам, тем не менее они не стремились доказывать их логически. Заслуга Фалеса именно в том и состоит, что он первый положил начало логическим доказательствам теорем в геометрии и тем самым способствовал дедуктивному построению этой науки. Но иногда, как замечает Прокл, он опирался также на наглядность.

Дальнейший прогресс в геометрии связан с именем величайшего ученого античности Пифагора, имя которого известно каждому школьнику по знаменитой его теореме. По мнению Прокла, «Пифагор ...преобразовал эту науку в форму свободного образования. Он изучал эту науку, исходя от первых ее оснований и старался получать теоремы при помощи чисто логического мышления, вне конкретных представлений»2. Однако для большинства своих современников Пифагор был скорее религиозным пророком, который проповедовал бессмертие души, ввел для своих сторонников строгие правила морали и основал братство верующих — пифагорейский орден. Математика была составной частью религии этого ордена. «Бог, учили они, положил числа в основу мирового порядка. Бог — это единство, а мир — множество и состоит из противоположностей. То, что приводит противоположности к единству и соединяет все в космос, есть гармония. Гармония является божественной и заключается в числовых соотношениях»3. Самому Пифагору приписывают нахождение «золотой пропорции»

А: Н = R: В, где Н — гармоническое среднее, a R — арифметическое среднее.

По свидетельству историков, Пифагор нашел эту пропорцию благодаря знакомству с трудами вавилонских математиков. Он совершал путешествия в Вавилон и Египет. Поэтому некоторые исследователи считают, что он являлся передатчиком вавилонской учености античным грекам. Свой тезис об упорядоченности числами всего существующего в мире пифагорейцы демонстрировали с помощью музыкальной гармонии. Если уменьшить длину струны вдвое, то ее тон повысится на одну октаву. Аналогично этому, если уменьшить ее в отношении 3:2 и 4:3, то ему будут соответствовать интервалы квинта и кварта, что якобы подтверждает основной их принцип «все есть число».

Такая магическая вера в числовые закономерности, которые управляют миром, побудила пифагорейцев заняться тщательным анализом свойств чисел. Среди них они выделяют в первую очередь знаменитую тетраду: 1, 2, 3, 4, которая геометрически изображается совершенным треугольником, а арифметически — треугольным числом 1 + 2 + 3 + 4= 10. Кроме того, они рассматривали так называемые совершенные числа, равные сумме своих делителей, например, 6=1+2 + 3 = 6. Весьма важными видами чисел они считали фигурные числа: треугольные, квадратные, четырехугольные, пятиугольные, «дружественные» числа и некоторые другие.

Однако главными достижениями пифагорейской школы считают поиск строго логических доказательств в геометрии, в особенности знаменитой теоремы о квадрате гипотенузы прямоугольного треугольника, равной сумме квадратов его катетов. По легенде эта теорема восходит к Пифагору, в честь открытия которого он якобы принес в жертву быка, но последнее выглядит неправдоподобно, ибо он был вегетарианцем и противником убоя животных.

Другие открытия Пифагора были связаны с построением и изучением свойств правильных многогранников, а также звездчатого пятиугольника («звезды»), который считался символом здоровья и служил опознавательным знаком для пифагорейцев. В астрономии Пифагор считал Землю шаром, находящимся в центре Вселенной, знал о собственном движении планет и Солнца.

Идеи Пифагора получили дальнейшее развитие в V веке до н.э., который считается золотым веком эллинской культуры. В этот период возникают такие материалистические учения, как натурфилософия Анаксагора, который впервые заявил, что Солнце и звезды отнюдь не являются божественными существами, а представляют собой мертвые пламенеющие камни, которые находятся в вихревом движении. За такие высказывания Анаксагор был обвинен в безбожии и изгнан из Афин, несмотря на то, что поддерживал дружеские отношения с его правителем Периклом. В астрономии ему удалось верно объяснить причины лунных и солнечных затмений.

Для всего последующего развития науки выдающееся значение принадлежит гениальной догадке Демокрита об атомном строении материи. Эта догадка не опиралась на какие-либо эмпирические знания, а возникла чисто умозрительным путем. Если продолжать неограниченное деление тел на мельчайшие части, то в конечном итоге можно прийти к тому, что материя в конце концов исчезнет, что противоречит принципу вечного ее существования. Поэтому Демокрит допускает, что в мире должны существовать последние, неделимые ее частицы, которые он назвал атомами (от греч. атоиоа — неделимый). Несмотря на чисто механические представления о свойствах и взаимодействиях атомов, рациональное содержание его гипотезы об атомах впоследствии нашло блестящее подтверждение в современной науке. Демокрит исправил также некоторые недостатки учения Анаксагора, который допускал, что порядок в мире возник благодаря некоему разуму, который привел в вихревое движение материю. В области геометрии Демокриту приписывают открытие формулы объема пирамиды и конуса, хотя он и не дал им точного доказательства.

В целом, в V веке до н.э. продолжалось дальнейшая разработка проблем планиметрии: нахождение площадей многоугольников, исследование пропорциональности, правильных многоугольников, углов и дуг в круге, а также определение площади круга, пропорциональной квадрату его радиуса. В стереометрии Демокритом были найдены объемы пирамиды и конуса, была поставлена проблема удвоения объема куба и намечены подходы к анализу теории перспективы. Исследование теории чисел, начавшееся с пифагорейской мистики чисел, приобрело затем вполне научный характер. Все эти проблемы нашли дальнейшее развитие в IV веке до н.э., который нередко называют веком Платона. Хотя в политическом отношении этот век был уже временем упадка, но в области философии и точных наук это был период невиданного расцвета. Научная жизнь концентрировалась тогда вокруг Платона и созданной им Академии. Ряд великих математиков были друзьями Платона и его учениками в области философии, а сам он всячески способствовал пропаганде математики, требуя от своих учеников основательного знакомства с математикой, прежде чем заняться философией. «При помощи математики, - читаем мы в его диалоге «Государство» — очищается и получает новую жизненную силу орган души, в то время как другие занятия уничтожают его и лишают способности видеть, тогда как он значительно более ценен, чем тысячи очей, ибо только им одним может быть обнаружена истина»1.

Платон широко использует в своих знаменитых диалогах метод, который применял в своих устных беседах его великий учитель Сократ. Этот метод часто называют диалектическим, поскольку он основывается на доказательстве истины путем обнаружения противоречий в мнениях собеседника. Поскольку истина не может быть самопротиворечивой, то гипотеза, которая окажется противоречивой отвергается и должна быть заменена другой. Такой способ поиска истины путем обнаружения противоречий в мнениях или предположениях собеседника был заимствован Платоном из математики, где он назывался методом доказательства путем приведения к абсурду. По его собственным словам, диалектика есть точный метод доказательства, и поэтому в его диалогах не встречаются иных методов доказательства, кроме опровержения мнений или гипотез. В своих диалогах он иллюстрирует этот метод путем доказательства теоремы о несоизмеримости стороны и диагонали квадрата.

Платон оказал значительное влияние на многих математиков своего времени и был в дружеских отношениях с такими выдающимися учеными, как Архит Тарентский, Тэетет и Евдокс Книдский. Среди них особенно известен Евдокс, как математик и астроном. В математике он разрабатывал так называемый метод исчерпывания, согласно которому можно определить, например, площадь круга путем непрерывного уменьшения разницы между описанными и вписанными в круг правильными многоугольниками. По мере увеличения числа их сторон эта разность может сделана как угодно малой величиной. В астрономии он построил оригинальную систему мира, в центре которой находится шарообразная Земля. Вокруг нее обращаются 27 концентрических сфер, внешняя из которых несет неподвижные звезды, а другие служат для объяснения движений Солнца, Луны и 5 планет. Большую известность Евдокс получил также благодаря описанию звездного неба.

В конце IV века вся греческая математика была собрана в трудах Евклида, озаглавленных как «Начала». По ним учился математике весь цивилизованный мир и до настоящего времени школьный учебник геометрии представляет, по сути дела, переработку сочинения Евклида. Хотя сам он не был великим математиком, но стал талантливым систематизатором и педагогом. Он сумел восполнить многие недостающие положения в существующих теоремах и открыл некоторые недостающие теоремы. Однако главной его заслугой является построение геометрии в соответствии с аксиоматическим методом, согласно которому все ее теоремы логически выводятся из небольшого числа принятых без доказательства аксиом.

Значительных новых результатов древнегреческая математика достигает в александрийскую эпоху в III веке до н.э., когда интеллектуальная жизнь сосредоточилась в Александрии, столице династии Птолемеев, щедро финансировавших науку. Известные ученые этого периода Аристарх, Архимед, Эратосфен, добившиеся значительных результатов в астрономии, механике и географии одновременно были выдающимися математиками. Аристарх Самосский впервые осмелился выдвинуть идею, что не Солнце, а Земля вращается вокруг Солнца, став, таким образом, предтечей гелиоцентрической системы мира. Эратосфен известен своими работами по измерению Земли и составлением географической карты мира. В математике он занимался исследованиями по теории чисел, в частности, он открыл способ, посредством которого можно отсеивать простые числа из нечетных, названное решетом Эратосфена. Великим среди ученых этого периода, несомненно, является Архимед, имя которого известно каждому школьнику по закону, носящему его имя. Архимеду принадлежат и многие механические изобретения, но по словам Плутарха, хотя, эти изобретения прославили его сверхчеловеческую мудрость, сам он полагал, что «сооружение всех приспособлений для практического употребления — дело низкое и неблагодарное». Поэтому он стремился заниматься делами возвышенными и совершенными, которые находил в математике. Ему принадлежат исследования по вычислению площадей поверхностей и объемов геометрических тел. Он не только развил дальше метод исчерпывания, использованный Архитом Тарентским, но, в сущности, применял для вычисления площадей и объемов метод интегрального исчисления в его геометрической интерпретации.

Последним выдающимся геометром александрийской эпохи является Аполлоний Пергский, известный своими исследованиями по коническим сечениям. Его результаты были развиты и использованы создателем геоцентрической системы мира Клавдием Птолемеем. После Аполлония древнегреческая геометрия, как и математика в целом, приходит в упадок. Этот упадок объясняется, как внешними, так и внутренними причинами. Начать с того, что материальное производство, основанное на рабском труде, не нуждалось в помощи науки, а сами ученые, как показывает пример Архимеда, считали использование науки для практических целей занятием низким и неблагородным. К тому же наука, зависевшая от царских субсидий, сразу же после ухудшения экономики в результате войн и разорения, перестала нормально функционировать. Изменилась и ориентация науки: она стала достоянием придворных кругов, в то время как в классический период к знанию стремились широкие слои свободнорожденных граждан.

К числу внутренних трудностей древнегреческой математики следует отнести отсутствие удобной цифровой системы счисления, которая впервые была создана в Индии. Использование греками букв вместо цифр крайне усложняло процесс вычислений, а отказ от применения иррациональных чисел в алгебре задержал процесс алгебраизации геометрии. Арабы, заимствовавшие индийскую систему счисления, достигли значительных успехов в астрономии, навигации и в других областях познавательной и практической деятельности и тем самым способствовали развитию не только прикладной, но и теоретической математики.